Бернулли уравнение (интеграл Бернулли). Бернулли уравнение (интеграл Бернулли) Равновесие несжимаемых жидкостей

Содержание статьи

ГИДРОАЭРОМЕХАНИКА –наука о движении и равновесии жидкостей и газов. При планировании физических экспериментов или при их проведении необходимо создавать теоретические модели, которые либо предсказывают возможные результаты этих экспериментов, либо объясняют уже полученные. Только в тесном взаимодействии теории и эксперимента можно понять то, что происходит в окружающем нас физическом мире. Для создания той или иной количественной или качественной модели физического явления необходим математический фундамент, на основе которого строятся такие модели. Под математическим фундаментом в данном случае подразумеваются те дифференциальные уравнения и те граничные и начальные условия, с помощью которых можно было бы описывать рассматриваемое физическое явление. Гидромеханика и предлагает модели и аппарат для иcследования явлений, происходящих в жидкостях и газах.

О гипотезе сплошности среды.

Гидроаэромеханика изучает движения жидкостей и газов в приближении, когда они могут рассматриваться как сплошные среды, т.е. среды, непрерывным образом заполняющие рассматриваемое пространство течения. Чтобы решать математические проблемы, связанные с расчетом движения различных объектов (самолетов, ракет, кораблей и др.) в воздухе или воде, с изучением волновых процессов в жидкостях и газах, с их течениями по трубам и каналам и т.п., необходим математический аппарат, описывающий эти явления. Этим аппаратом и являются уравнения гидроаэромеханики, которые опираются на гипотезу сплошности среды, т.е. на гипотезу о том, что частицы жидкости или газа непрерывным образом заполняют занимаемую ими часть физического пространства.

Возникает естественный вопрос: при каких предположениях справедлива эта гипотеза? Если для жидкостей (воды, жидких металлов и т.п.) эта гипотеза более или менее очевидна, то для достаточно разреженных газов (например, занимающих космическое пространство, включая атмосферы звезд, планет и Солнца), которые состоят из отдельных атомов или молекул, а также других физических объектов, к которым применим аппарат гидроаэромеханики, она требует своего обоснования. Так, например, при расчете торможения искусственных спутников Земли использование математического аппарата гидроаэромеханики не представляется возможным, в то время как именно этот аппарат используется при расчете торможения космических объектов, входящих в плотные слои атмосфер Земли и планет (например, метеоритов или возвращаемых на Землю космических кораблей и пр.). На этот вопрос легко ответить при выводе уравнений. Однако из этого вывода следует, что гипотеза сплошности среды справедлива, в частности, в том случае, когда характерный размер обтекаемого тела L (например, радиус сферического спутника) много больше длины свободного пробега атомов или молекул газа l, т.е. длины между последовательными их столкновениями.

Замкнутая система уравнений гидроаэромеханики.

Уравнения гидроаэромеханики в их упрощенном виде представляют собой сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений для массовой плотности r (масса жидкости или газа в единице объема), вектора скорости V и давления p , которые, в свою очередь, являются функциями пространственных координат (например, x , y и z в декартовой системе координат) и времени t . Не вдаваясь в математические подробности вывода этих уравнений, можно рассмотреть основные идеи этого вывода, тем более, что эти уравнения представляют собой известные даже из школьных учебников законы сохранения массы, импульса и энергии. Для этого рассматривается некоторый физический объем, непрерывным образом заполненный жидкостью или газом. На рис. 1 изображена движущаяся жидкость (или газ), непрерывным образом заполняющая некоторую часть физического пространства. Выделим из нее некоторый объем U (ограниченный поверхностью S), который в течение всего времени движения состоит из одних и тех же частиц жидкости (этот объем заштрихован).

Очевидно, что при своем движении масса жидкости, заключенная в объеме U , остается постоянной (если, конечно, нет каких-либо дополнительных источников этой массы), хотя сам объем может сильно деформироваться, поскольку частицы не скреплены жестко, как в твердом теле. Если выделить из рассматриваемого объема бесконечно малый элемент DU , то очевидно, что в этом элементе масса жидкости или газа будет равна rDU . Тогда закон сохранения массы, заключенной в выделенном объеме U , можно записать в виде

т.е. масса жидкости или газа, заключенная в выделенном объеме U , не изменяется со временем. Здесь интеграл берется по выделенному объему U , который меняется со временем t . Если использовать формулу производной по времени от интеграла по движущемуся объему, можно получить уравнение

Это уравнение в гидроаэромеханике обычно называется уравнением неразрывности.

Аналогично можно записать теперь закон сохранения импульса. Импульс единицы объема жидкости, равен rV, в элементарном объеме rDU , а в выделенном объеме U –

где p n – вектор поверхностной силы, который действует на элемент поверхности S с единичным вектором нормали n. Одной из основных проблем гидроаэромеханики, окончательно решенной в середине 19 в., является явное определение поверхностных сил. В рамках используемого здесь так называемого феноменологического подхода к получению уравнений гидроаэромеханики, поверхностные силы определяются эмпирически. Дифференцируя по времени интеграл слева в уравнении импульса, как это делалось при выводе уравнения неразрывности, и переходя от поверхностного интеграла справа к объемному, можно написать дифференциальные уравнения движения для непрерывных функций в виде

а величины u , v и w , а также – являются проекциями векторов скорости V и градиента давления на оси Ox , Oy и Oz соответственно.

Это уравнение, называемое уравнением Навье – Стокса, выписано в наиболее простой форме для несжимаемой жидкости, где поверхностные силы сводятся к нормальному давлению р , а последний член справа представляет собой «вязкие» силы (m – коэффициент вязкости) в предположении, что r = const.

Впервые уравнение движения было выведено в середине 18 в. Л.Эйлером , когда он работал в Петербургской Академии наук. Поскольку эффекты вязкости в жидкости в то время еще не были известны, то Эйлер получил это уравнение при m = 0. В честь его эти уравнения были названы уравнениями Эйлера. Только в 1822 французским инженером Навье в уравнения Эйлера были введены силы, связанные с вязкостью, определяемой коэффициентом m. В общей форме, справедливой и для сжимаемого газа, уравнение получено Стоксом и получило название уравнения Навье – Стокса.

Для несжимаемой жидкости дифференциальные уравнения неразрывности и импульса (одно скалярное и одно векторное) являются замкнутой системой уравнений для определения вектора скорости V и скалярного давления р (r = const). Если же r № const, то требуется дополнительное уравнение. Это уравнение получается из закона сохранения энергии.

Обобщение закона сохранения энергии на случай движения жидкостей и газов получается аналогично обобщению второго закона Ньютона, однако, в силу наличия теплового движения в жидкостях и газах, энергия, приходящаяся на единицу объема, состоит из кинетической энергии rV 2 /2 и внутренней энергией re, связанной с тепловым движением частиц газа или жидкости. Полная энергия в элементе объема DU равна r(V 2 /2 + e)DU .

Изменение полной энергии в выделенном объеме U равно притоку тепла через поверхность S за счет теплопроводности, а также работе массовых и поверхностных сил, т.е. вместо закона сохранения импульса, получается уравнение

где n – единичный вектор нормали к поверхности S.

Для совершенного газа e = c v T , где с v – теплоемкость при постоянном объеме, T – температура, а для вектора потока тепла обычно принимается эмпирический закон Фурье q = – l T (l – коэффициент теплопроводности). После соответствующего дифференцирования по времени левой части уравнения энергии, перехода от поверхностных интегралов к объемным и при использовании уравнения неразрывности и уравнения движения, можно получить так называемое уравнение притока тепла для непрерывных функций

Все эти уравнения, вместе с уравнением состояния для совершенного газа

p = r R T ,

где R = (с р – с v ) – газовая постоянная, а с р – теплоемкость при постоянном давлении, и законом Фурье

Образуют замкнутую систему уравнений гидроаэромеханики для определения вектора скорости V , давления p , плотности r и температуры Т .

Если какое либо физическое явление мало зависит от диссипативных процессов (вязкости и теплопроводности), то уравнения эти уравнения сводятся к уравнениям гидроаэромеханики идеальной жидкости. В этом случае замкнутой системой уравнений для определения р , r, V и Т является система

Последнее уравнение есть адиабатический закон, который легко сводится к закону сохранения энтропии. Здесь g = с p /c v – показатель адиабаты, т.е. отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме.

Гидростатика

представляет собой частный случай гидроаэромеханики, который изучает равновесие жидкостей и газов, т.е. их состояние при отсутствии гидродинамической скорости (V = 0). Результаты и методы гидростатики имеют большое значение для многих задач, важных как с практической, так и с общенаучной точек зрения. В гидростатике рассматриваются задачи, связанные с равновесием воды в водных бассейнах, воздуха в атмосфере Земли, решаются задачи расчета сил, которые действуют на тела, погруженные в жидкость или газ, определяются распределения давления, плотности, температуры в атмосферах планет, звезд, Солнца и множество других задач.

Уравнения гидростатики получаются из уравнений гидроаэромеханики при V =0. В частности, уравнения сохранения импульса дает

Откуда, в частности, следует известный еще из школьных учебников закон Паскаля , согласно которому при отсутствии внешних массовых сил (F = 0) давление всюду является постоянным (p = const).

Равновесие совершенного газа в поле сил тяжести.

Пусть есть газ в центральном поле сил тяжести. Уравнения равновесия в сферической системе координат будут в этом случае записываются как:

Здесь r , q и c – соответственно расстояние до притягивающего центра массы М , помещенного в начало координат, угол, отсчитываемый от полярной оси Оz , и угол в плоскости Оxy , G – гравитационная постоянная, равная 6,67Ч10 –8 дин см 2 г –2 .

Из этих уравнений видно, что в центрально-симметричном поле гравитации давление зависит только от расстояния до этого центра (легко показать, что давление не зависит и от времени). Легко также показать, что плотность и температура также зависят только от координаты r . Интегрирование первого из этих уравнений приводит к так называемой барометрической формуле, если под М понимать массу Земли, планеты, звезды, Солнца и др. При использовании уравнения состояния барометрическая формула имеет вид

где p 0 – давление на некотором расстоянии r = r 0 от притягивающего центра (для Земли, например, это может быть давление на уровне моря). Эта формула определяет распределение давления в атмосферах звезд, Земли, планет, Солнца и др., если известно распределение температуры Т (r ), однако эту температуру часто нельзя определить из написанного ранее уравнения притока тепла, так как в нем учитывается только приток тепла за счет теплопроводности, в то время как для перечисленных атмосфер есть другие источники тепла, неучтенные в приведенном уравнении. Например, атмосфера Солнца разогревается различного рода волновыми процессами, а атмосфера Земли перерабатывает энергию солнечного излучения и т.п., поэтому для определения распределения давления в атмосферах небесных тел при помощи барометрической формулы часто используются эмпирические зависимости Т (r ).

Можно, например, рассчитать распределения давления в атмосфере Земли до расстояний в 11 км от ее поверхности. Если выбрать декартову систему координат с началом на поверхности Земли и направить ось Oz вертикально вверх, тогда в барометрической формуле вместо координаты r нужно брать координату z = r – R Е, где R Е – радиус Земли. Поскольку этот радиус много больше толщины атмосферы (z R Е), то барометрическую формулу для плоской атмосферы можно переписать в виде

Здесь введено обозначение для ускорения земного притяжения

где Т 0 – абсолютная температура на поверхности моря (z = 0), D – эмпирическая величина, физически означающая уменьшение температуры при подъеме на 100м. Для реальной атмосферы часто принимается D = 0,65, Т 0 = 288К.

Если принять такое распределение температуры, то давление записывается в виде

Отсюда видно, что принятая эмпирическая линейная зависимость Т (z ) неприемлема для всей атмосферы Земли, так как на высотах, больших 44 км, давление становится отрицательным. Однако она приемлема для высот, имеющих важное практическое значение. Из экспериментов, выполненных при помощи спутников, высотных ракет и т.п., оказывается, что на больших высотах температура является очень сложной и немонотонной функцией высоты. Эта немонотонность обусловлена сложным процессом переработки солнечной энергии верхними слоями атмосферы Земли, которые не учитываются уравнением притока тепла.

Равновесие несжимаемых жидкостей.

Если рассмотреть простой пример равновесия несжимаемой жидкости в гравитационном поле Земли, то из условий равновесия при r = const получается, что

p = p 0 – r gz или р = p 0 + r gh ,

где h – глубина жидкости под ее поверхностью, р 0 – давление на поверхности (рис. 2). Эта формула, известная из школьных учебников, показывает, как давление в жидкости возрастает с ее глубиной. С помощью этой формулы легко рассчитать давление на дно сосуда, заполненного жидкостью. Интересно, что это давление зависит от глубины, но не зависит от формы сосуда. В частности, на рис. 3 давление на дно сосудов 1 и 2 одинаковой площади дна S будет одинаковым или сила, действующая на дно этих сосудов вследствие давления жидкостей, будет одинаковой.

Много важных приложений основывается на решениях уравнений гидростатики (закон Архимеда, устойчивость равновесия атмосфер звезд и планет и т.п.).

НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ В ПРИЛОЖЕНИЯХ РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ГИДРОАЭРОМЕХАНИКИ.

1. Модель несжимаемой жидкости.

Уравнения гидроаэромеханики для вязких и теплопроводных жидкостей или газов в большинстве очень важных для практики проблем поддаются решению только численными методами. Однако эти уравнения существенно упрощаются в предположении, что для рассматриваемого течения справедливо предположение о его несжимаемости (r = const). Хотя строго несжимаемых жидкостей или газов в природе не существует, тем не менее, во многих случаях, например, сжимаемый газ можно рассматривать как несжимаемую жидкость, поскольку изменением плотности во многих течениях можно пренебречь. При этом уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости принимает вид div = 0 .

Вместе с уравнением сохранения импульса оно образует замкнутую систему уравнений для определения давления р и скорости V. Два критерия определяют возможность использования модели несжимаемой жидкости для, вообще говоря, сжимаемого газа

где M – так называемое число Маха, a – скорость распространения звука в газе, V * – характерная скорость течения (например, скорость движения воздуха относительно летящего самолета), t * – характерное время нестационарности движения (например, характерное время пульсаций параметров воздуха перед летящим самолетом), L – характерный размер задачи (например, размер обтекаемого тела). Для стационарного течения достаточен только первый критерий. Эти критерии имеют ясный физический смысл. Например, при полете самолетов с большой дозвуковой скоростью модель несжимаемой жидкости можно использовать при расчете характеристик обтекания такого самолета (сопротивление, подъемную силу и пр.). Если же самолет летит со сверхзвуковой скоростью, то перед ним образуется так называемая ударная волна , характерной особенностью которой являются резкие скачки в ней давления, скорости, плотности и температуры. Образование ударной волны – это типичный признак существенности изменения плотности, т.е. типичный признак сжимаемости течения.

Течение вязкой жидкости в цилиндрической трубе (течение Гагена – Пуазейля).

Важной задачей является рассмотрение течений вязких несжимаемых жидкостей в цилиндрической трубе круглого сечения радиуса R (Рис. 4) под действием перепада давления на концах этой трубы P = (p 2 – p 1)/L , где L – длина трубы. Если предположить, что длина трубы настолько велика, что вход, где давление p 2 , и выход, где давление p 1 (p 2 > p 1), не влияют на течение в большей части этой трубы, то легко получить точное аналитическое решение уравнения Навье – Стокса в виде

где u – скорость жидкости вдоль оси х , совпадающей с осью симметрии трубы, а r – расстояние от этой оси. Из этой видно, что профиль скорости в трубе является параболическим. На стенках трубы скорость обращается в нуль вследствие прилипания жидкости из-за эффекта вязкости. Такое течение было изучено в середине 19 в. Пуазейлем и Гагеном на примере течений жидкостей в капиллярах и получило название течения Гагена – Пуазейля.

Очевидно, при постоянном потоке (не зависящем от r ) жидкости у входа в трубу и на ее начальном участке профиль скорости не будет совпадать с приведенным решением. Параболический профиль устанавливается лишь на достаточно большом расстоянии от входного участка, именно поэтому для получения решения нужно предположить, что труба достаточно длинная, при этом для таких труб это точное решение хорошо совпадает с экспериментальными данными.

Полученное решение описывает стационарное, гладко-слоистое течение, которое обычно называют ламинарным. Однако из практики известно, что в трубах иногда течение бывает нестационарным, с пульсациями скорости, с перемешиванием между слоями, это течение обычно называется турбулентным. Опыты Рейнольдса, проведенные в 1883, показали, что при достаточно больших значениях числа r U L /m, где U – средняя по сечению трубы скорость жидкости, параболический профиль становится неустойчивым по отношению к малым возмущениям, а при дальнейшем увеличении этого числа течение в трубе становится турбулентным. Это число получило название числа Рейнольдса (Re), которое играет очень важную роль в различных задачах гидроаэромеханики. В частности оно характеризует отношение инерционных сил (левая часть уравнения) к силам вязкости, при этом часто силами вязкости можно пренебречь и использовать уравнения гидроаэромеханики идеальной жидкоститолько при Re >> 1.

Течения идеальных жидкостей и газов.

Часто важные в приложениях задачи рассматривают на основе уравнений гидроаэромеханики идеальной жидкости, а не на полных уравнениях. Это связано с тем, что математически уравнения идеальной гидроаэромеханики существенно проще. Если нужно определить подъемную силу крыла самолета при малых дозвуковых скоростях, то вязкие силы пренебрежимо малы и нет необходимости использовать уравнения Навье – Стокса. Однако для определения сопротивления такого крыла при движении его в воздухе вязкие силы оказываются определяющими и необходимо использовать более сложный математический аппарат, связанный с уравнениями Навье – Стокса.

Интеграл Бернулли.

При некоторых предположениях уравнения гидромеханики идеальной жидкости можно один раз проинтегрировать, они имеют решения, одним из которых является интеграл Бернулли для стационарных течений (по имени современника Эйлера математика Бернулли, впервые получившего этот интеграл)

где P (p ) = т dp /r (p ) – функция давления, U – потенциал внешних массовых сил, С – постоянная вдоль линии тока l (линия тока совпадает с вектором скорости течения V ).Так, например, для несжимаемой жидкости в поле земного тяготения это уравнение имеет вид

Для адиабатических течений интеграл Бернулли в отсутствии внешних массовых сил имеет вид

В качестве примера использования интеграла Бернулли можно определить скорость истечения несжимаемой жидкости из сосуда (рис. 5). При истечении жидкости из этого сосуда уровень жидкости понижается, т.е. скорость поверхности жидкости, вообще говоря, отлична от нуля. Однако при достаточно широком сосуде с узким отверстием вытекания можно принять, что V z 1 – z 2). Для ванны с высотой налитой воды примерно 0,5 м скорость истечения V 2 » 3,1м/сек.

Уравнения движения идеальной жидкости имеют еще один интеграл для нестационарных течений, который называется интегралом Коши – Лагранжа. Он справедлив для течений, в которых отсутствуют вихри. Его часто, например, используют при рассмотрении волновых движений жидкости или газа.

Ударные волны как одно из важных проявлений сжимаемости газа.

Математически уравнения идеальной гидроаэромеханики допускают разрывные решения, т.е. решения, которые имеют скачки параметров газа (плотности, давления, скорости и температуры). Одним из таких проявлений в природе является образование ударной волны около летящего со сверхзвуковой скоростью тела в плотных слоях атмосферы Земли. Например, образование ударной волны около летающих сверхзвуковых самолетов или ударных волн около метеоритов, вторгающихся в плотные слои атмосферы Земли с большими сверхзвуковыми скоростями. В условиях космического пространства хорошо известны межпланетные ударные волны, которые чаще всего являются результатом активных процессов на Солнце (например, вспышек).

Известно, что около пассажирских самолетов, летающих главным образом с большими дозвуковыми, никакие ударные волны не образуются. Пусть есть сферическое тело радиуса R (рис. 6), которое летит в воздухе со сверхзвуковой скоростью. Тогда впереди такого тела образуется ударная волна В , являющаяся границей между областями 1 и 2, которые отличаются значениями параметров газа. В системе координат, связанной с летящим телом. поток газа набегает на покоящееся тело. Пусть ось Оx направлена вдоль скорости потока, а V 1 , p 1 , r1 и T 1 – скорость, давление, плотность и температура, соответственно, в невозмущенном телом потоке газа (до ударной волны). В область 1 возмущения от тела не попадают, поскольку тело движется со сверхзвуковой скоростью. Так как скорость газа в лобовой точке тела А обращается в нуль, то от точки А до точки С на ударной волне есть область дозвуковой скорости газа, которой достигают возмущения воздуха от летящего тела. Физический смысл образования ударной волны и заключается в разделении невозмущенного и возмущенного потоков газа. Если через V

Это означает, что скорость за ударной волной уменьшается, а давление, плотность и температура возрастают. Сильным возрастанием температуры за ударной волной и объясняется оплавление возвращающихся на Землю космических аппаратов и метеоритов, вторгающихся в атмосферу с большими сверхзвуковыми скоростями. Такие ударные волны называются ударными волнами сжатия (плотность газа возрастает). Интересно, что в природе никогда не наблюдались ударные волны разрежения, в которых плотность падает. Математически образование ударных волн разрежения запрещается известной в гидроаэромеханике теоремой Цемплена

Соотношения между параметрами с индексами «1» и «2» можно получить из интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии, поскольку они справедливы и для разрывных функций. Такие соотношения называются соотношениями Гюгонио и имеют вид (в системе координат, связанной с ударной волной)

r1 V n 1 = r2 V n 2 ; r1 V n 1V 1 + p 1 n =r2 V n 2V 2 + p 2 n ;

V n 1 = V n 2.

Вместе с уравнением состояния эти соотношения позволяют определить значения параметров газа за ударной волной (индекс «2») по значениям параметров невозмущенного ударной волной потока газа (индекс «1»).

Описанный математический аппарат гидроаэромеханики используется во многих областях естественных наук, при этом для корректности использования этого аппарата требуется только выполнение критерия сплошности среды, т.е. для газов, например, длина свободного пробега частиц должна быть много меньше характерных размеров рассматриваемых объектов обтекания. В частности, в условиях космического пространства часто среда очень разрежена. В таких средах, конечно же, длина свободного пробега частиц очень велика, но размеры самих объектов исследования оказываются во многих случаях существенно больше, т.е. методы гидроаэромеханики применимы и к таким объектам.

В биомеханике при помощи методов гидромеханики исследуются интересные особенности течений биологических жидкостей по сосудам, а в гидрогеологии исследуются, например, задачи динамики внутренних слоев Земли. Все это свидетельствует о важности науки, которая называется «гидроаэромеханика».

Владимир Баранов

Бернулли уравнение (интеграл Бернулли) в гидроаэромеханике [[по имени швейцарского учёного Д. Бернулли (D. Bernoulli)], одно из основных уравнений гидромеханики, которое при установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости в однородном поле сил тяжести имеет вид:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
где v - скорость жидкости, ρ - её плотность, р - давление в ней, h - высота жидкой частицы над некоторой горизонтальной плоскостью, g - ускорение свободного падения, С - величина, постоянная на каждой линии тока, но в общем случае изменяющая своё значение при переходе от одной линии тока к другой.

Сумма первых двух членов в левой части уравнения (1) равна полной потенциальной, а третий член - кинетической энергиям, отнесённым к ед. массы жидкости; следовательно, всё уравнение выражает для движущейся жидкости закон сохранения механической энергии и устанавливает важную зависимость между v, p и h. Например, если при неизменной h скорость течения вдоль линии тока возрастает, то давление падает, и наоборот. Этот закон используют при измерении скорости с помощью трубок измерительных и при других аэродинамических измерениях.

Уравнение Бернулли представляют также в виде
h + p/γ + v 2 /2g = C или
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(где γ =ρg - удельный вес жидкости). В 1-м равенстве все слагаемые имеют размерность длины и называются соответствующей геометрической (нивелирной), пьезометрической и скоростной высотами, а во 2-м - размерности давления и соответственно именуются весовым, статическим и динамическим давлениями.

В общем случае, когда жидкость является сжимаемой (газ), но баротропной, т. е. р в ней зависит только от ρ, и когда её движение происходит в любом, но потенциальном поле объёмных (массовых) сил (см. Силовое поле), уравнение Бернулли получается как следствие Эйлера уравнений гидромеханики и имеет вид:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
где П - потенциальная энергия (потенциал) поля объёмных сил, отнесённая к ед. массы жидкости. При течении газов значение П мало изменяется вдоль линии тока, и его можно включить в константу, представив (3) в виде:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

В технических приложениях для течения, осреднённого по поперечному сечению канала, применяют т. н. обобщённое уравнение Бернулли: сохраняя форму уравнений (1) и (3), в левую часть включают работу сил трения и преодоления гидравлических сопротивлений, а также механическую работу жидкости или газа (работу компрессора или турбин) с соответствующим знаком. Обобщённое уравнение Бернулли широко применяется в гидравлике при расчёте течения жидкостей и газов в трубопроводах и в машиностроении при расчёте компрессоров, турбин, насосов и других гидравлических и газовых машин.

Придадим уравнению количества движения иную форму. Для этого воспользуемся известной формулой вектор­ного анализа

положив в ней . Следовательно, справедливо равенство

Таким образом, уравнение количества движения приобретет вид уравнения Громеки – Лэмба

(2.79)

Как мы убедимся в дальнейшем, эта форма уравнения чрезвы­чайно удобна для анализа течения идеальной жидкости.

Рассмотрим сначала случай стационарного течения, т. е. поло­жим , и умножим (2.48) скалярно на вектор . Тогда по­лучим

(2.80)

Так как массовые силы имеют потенциал П, то

Кроме того, пусть существует функция давления

Течения, в которых плотность зависит только от давления, на­зываются баротропными. Градиент функции , равный

может рассматриваться как вектор объемного действия поверх­ностных сил, а сама функция как потенциал объемно­го действия поверхностных сил .

Таким образом, (2.80) дает

Сумму, стоящую в скобках, называют трехчленом Бернулли и обозначают как В : .

Итак, , где означает производную, взятую вдоль линии тока. Отсюда следует, что B=const или

(2.83)

Напомним, что это соотношение справедливо вдоль линии тока. При переходе от одной линии тока к другой константа, в принципе, может изменяться. Равенство (2.83) будет справедливо по всей области течения, если , что возможно при или при .

Равенство (2.83) носит название интеграла Бернулли . Соотно­шение (2.83) часто называют также теоремой (уравнением) Бернулли .

В гидромеханике (и особенно в гидравлике) наиболее распрост­раненным является случай интеграла Бернулли для несжимаемой жидкости. Положим ρ=const . Тогда . Будем считать, что жидкость находится только под действием сил тяжести, т. е. , где y – ось, направленная вертикально вверх. Та­ким образом, теорема Бернулли принимает следующую форму:

(2.84)

Если поделить все члены на ускорение силы тяжести g и обо­значить константу через Н*, то можно записать

, (2.85)

где – удельный вес; Н* – гидравлическая высота,

и дать теореме Бернулли классическую формулировку:

при стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости гидравлическая высота Н* , равная сумме скоростной , пьезометрической и нивелирной у высот, сохраняет посто­янное значение вдоль любой линии тока (или вихревой линии).

В пренебрежении силами тяжести теореме Бернулли можно при­дать более простой вид:

(2.86)

Первый член левой части называют пьезометрическим напором или статическим давлением, второй – скоростным напором или ди­намическим давлением. Правая часть представляет собой полный напор или давление торможения.

Рассмотрим теперь адиабатическое течение воды в рамках невесомой идеальной жидкости. В соответствии с уравнением Тэйта будем иметь

Таким образом, теорема Бернулли для сжимаемой воды будет выглядеть так:

(2.87)

Предположим, что параметры жидкость приобретает в точке, где скорость обращается в нуль. Если в действительности такая точка отсутствует, то можно представить себе воображаемое движение идеальной сжимаемой жидкости, адиабатически её за­тормаживающее. Величины и в этом случае называются соответственно давлением и плотностью торможения. При сделанном предположении уравнение (2.87) примет вид

(2.88)

уравнений гидродинамики - интеграл, определяющий давление рв каждой точке установившегося потока идеальной однородной жидкости или баротропного газа через скорость потока в соответствующей точке и через силовую функцию объемных сил: Постоянная Симеет для каждой линии тока свое значение, меняющееся при переходе от одной линии тока к другой. Если движение потенциальное, то постоянная Сдля всего потока одна и та же. Для неустановившегося движения Б. и. (наз. иногда интегралом Коши - Лагранжа) имеет место при наличии потенциала скоростей: причем и есть произвольная функция времени. Для несжимаемой жидкости левая часть уравнений (1), (2) приводится к виду; для баротропного газа - к виду: Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.: Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Смотреть значение Бернулли Интеграл в других словарях

Интеграл — м. математ. лат. конечная, измеримая величина, в отношении к бесконечно малой части ее, к дифференциалу. ьное вычисление, искусство отыскивать интеграл по дифференциалу.........
Толковый словарь Даля

Интеграл — интеграла, м. (от латин. integer - целый) (мат.). Конечная измеримая величина в отношении к бесконечно малой части ее - к диференциалу.
Толковый словарь Ушакова

Интеграл М. — 1. Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей.
Толковый словарь Ефремовой

Интеграл — [тэ], -а; м. [от лат. integer - целый] Матем. Величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию.
◁ Интегра́льный, -ая, -ое. И-ое исчисление (раздел математики,........
Толковый словарь Кузнецова

Бернулли, Даниил — (Bernoulli, Daniel) (1700-1782) Швейцарский математик и естествоиспытатель. Принадлежал к знаменитой семье ученых, родоначальник которой Якоб Бернулли был выходцем из Голландии.........
Экономический словарь

Бернулли Принцип — (D. Bernoulli, 1700-1782, швейц. ученый) правило, согласно котором у сила сокращения мышцы при прочих равных условиях пропорциональна длине ее мышечных волокон, т. е. степени ее........
Большой медицинский словарь

Бернулли — (Bernoulli) Даниэль (1700-82), швейцарский математик и физик, член знаменитой семьи математиков. В своих трудах по гидродинамике показал, что давление жидкости уменьшается по........

Закон Бернулли — , для стабильно текущего потока (газа или жидкости) сумма давления, кинетической энергии на единицу объема и потенциальной энергии на единицу объема является постоянной........
Научно-технический энциклопедический словарь

Интеграл — (обозначение т). Математический символ, используемый в ИСЧИСЛЕНИИ, представляющий операцию суммирования. функции f(x), записанный как т f(x)dx, может представлять площадь........
Научно-технический энциклопедический словарь

Бернулли — (Bernoulli) Иоганн (1667-1748) - иностранный почетный членПетербургской АН (1725), брат Якоба. Труды по исчислениюбесконечно малых и вариационному исчислению.

Бернулли Теорема — одна из предельных теорем теории вероятностей;простейший случай закона больших чисел, относится к распределениюотклонений частоты появления некоторого случайного........
Большой энциклопедический словарь

Бернулли Уравнение — связывает скорость и давление в потоке идеальнойнесжимаемой жидкости при установившемся течении. выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. Широко применяетсяв........
Большой энциклопедический словарь

Интеграл — (от лат. integer - целый) - см. ьное исчисление.
Большой энциклопедический словарь

Кратный Интеграл — интеграл от функции нескольких переменных. Определяетсяпри помощи интегральных сумм, аналогично определенному интегралу отфункции одного переменного (см. Интегральное........
Большой энциклопедический словарь

Криволинейный Интеграл — интеграл от функции, заданной вдоль какой-либокривой на плоскости или в пространстве. Его можно свести к определенномуинтегралу, а при некоторых дополнительных условиях........
Большой энциклопедический словарь

Неопределенный Интеграл
Большой энциклопедический словарь

Несобственный Интеграл — обобщение понятия интеграла на случайнеограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежуткеинтегрирования.
Большой энциклопедический словарь

Определенный Интеграл — см. Интегральное исчисление.
Большой энциклопедический словарь

Поверхностный Интеграл — интеграл от функции, заданной на какой-либоповерхности. При некоторых условиях его можно свести к тройному интегралу(Остроградского формула).
Большой энциклопедический словарь

Бернулли, Даниил — - член Академии наук, математик и врач, род. 29 января 1700 г. в Гренингене, в Швейцарии, ум. 17 марта 1782 г. в Базеле. Семья Бернулли происходит из Антверпена. Спасаясь от религиозного........

Бернулли, Иван — - брат Даниила Бернулли, род. в Базеле 18 мая 1710 г., ум. там же 18 июля 1790 г. В молодости он изучал правоведение в базельском университете. 14-ти лет от роду получил степень........
Большая биографическая энциклопедия

Бернулли, Николай — - юрист и математик, сын Иоганна Бернулли, род. 27 января 1695 г. в Гренингене или Базеле, ум. в С.-Петербурге 29 июля 1726 г. Он с детских лет отличался живостью ума и выдающимися........
Большая биографическая энциклопедия

Бернулли, Яков — - племянник Даниила Бернулли, профессор математики в Петербурге, род. 27 октября 1759 г. в Базеле, ум. 15 июля 1789 г. в С.-Петербурге. Окончив курс в базельском университете,........
Большая биографическая энциклопедия

Интеграл, Михаил — издал сборн.
Большая биографическая энциклопедия

Бернулли — (Bernoulli) - семья швейц. учёных в области муз. акустики. Иоганн Б. (17 VII 1667, Базель - 1 I 1748, там же) - автор исследования "Изобретения в области колебания натянутых хорд" ("Erfindungen........
Музыкальная энциклопедия

Бернулли, Распределение — См. биноминальное распределение.
Психологическая энциклопедия

Бернулли, Тест — Любой тест или ситуация с двумя взаимно исключающими и исчерпывающими возможными результатами; например, орел/решка при подбрасывании монеты. В серии тестов Бернулли........
Психологическая энциклопедия

Берну́лли При́нцип — (D. Bernoulli, 1700-1782, швейц. ученый)
правило, согласно которому сила сокращения мышцы при прочих равных условиях пропорциональна длине ее мышечных волокон, т. е. степени........
Медицинская энциклопедия

Потребность-интеграл — Термин Г. Мюррея, используемый для того, чтобы охарактеризовать динамическую интеграцию моделей поведения, включая пути, движения, цели и целевые объекты человека.........
Психологическая энциклопедия

Распределение Бернулли — См. распределение, биноминальное.
Психологическая энциклопедия